Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет»




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет»
страница1/4
Дата публикации09.08.2013
Размер0.84 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
www.lit-yaz.ru > Математика > Учебно-методическое пособие
  1   2   3   4
Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Нижегородский государственный

педагогический университет»


Арксинус, арккосинус, арктангенс

и арккотангенс числа

Учебно-методическое пособие

для студентов факультета математики, информатики и физики

Нижний Новгород

2007
Печатается по решению редакционно-издательского совета Нижегородского государственного педагогического университета

Кузнецова Л.И.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: Учебно-методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики. Н.Новгород: НГПУ, 2007, 60 с.

В пособии представлена вторая из четырех частей раздела «Тригонометрия» курса «Элементарная математика». В нем содержится тематический план, основные теоретические положения, выделены основные типы, методы и приемы решения задач, приведены список задач для индивидуальной работы и вариант контрольной работы по теме «Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа».

Предназначено для студентов факультета математики, информатики и физики, обучающихся по специальности «032100.00 – Математика с дополнительной специальностью».


Рецензент: С.В. Кириллова, доцент кафедры теории и методики обучения математике


Отв. за выпуск: Т.А. Иванова, доктор пед. наук, профессор кафедры теории

и методики обучения математике


Введение

Цель учебно-методического пособия по тригонометрии – оказание помощи студентам факультета математики, информатики и физики в усвоении раздела «Тригонометрия» из курса «Элементарная математика», так как отсутствие единого учебника, доступного студентам, в котором содержались бы все необходимые сведения по тригонометрии, значительно затрудняет изучение этого раздела. Пособие содержит систематизированный материал по теории и по типам задач, методам, способам и приемам их решения.

В данном пособии представлена вторая тема раздела по тригонометрии – «Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа». Учебно-методическое пособие по первой части раздела – «Преобразования тригонометрических выражений. Доказательство тождеств и неравенств» - издано в 2005 году (Н.Новгород: НГПУ).

Пособие включает в себя примерный тематический план изучения темы, требования к знаниям и умениям студентов, содержательную часть, вариант контрольной работы, приложение и список литературы.

В содержательной части темы рассмотрены определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, их основные свойства и тождества, следующие из определений; выделены типы задач на вычисление, доказательство тождеств и решение уравнений и неравенств, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Для большинства типов задач приведены последовательности действий, составляющих метод или прием решения. Типы задач, методы и приемы решения иллюстрированы большим числом примеров.

Определения и свойства понятий, методы и приемы решения задач, которыми должны овладеть студенты, отмечены в тексте курсивом.

Контрольная работа отражает уровень требований к знаниям и умениям студентов и предназначена для подготовки к аудиторной контрольной работе.

К каждому пункту пособия прилагается список задач для индивидуальной работы. Все задачи имеют общую нумерацию и идут под рубрикой «Упражнения». Задачи частично заимствованы из литературы, частично составлены автором. В конце пособия даны ответы к задачам.

Для удобства в использовании определения, свойства и тождества для рассматриваемых чисел вынесены в приложение.

Теоретический и задачный материал представлен в пособии в достаточном количестве для организации индивидуальной работы студентов на различных уровнях.

Поскольку данное учебно-методическое пособие является второй частью, продолжением пособия по тригонометрии, то в нем пункты имеют двойную нумерацию (см. 2.1 – 2.4), а нумерации рисунков, упражнений и приложения продолжают соответствующие нумерации первой части.


^ Примерный тематический план изучения темы


п/пТема занятияЧисло часовлекционныхпрактич.

занятий1 Определения, свойства, основные тождества для аркусов. Задачи на вычисление22, 3 Доказательство тригонометрических тождеств, содержащих аркусы

1 23, 4 Решение тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих аркусы24 Контрольная работа № 21
^ Требования к знаниям и умениям студентов
Цель изучения темы – формирование умений в вычислениях значений выражений, доказательстве тождеств и решении уравнений и неравенств, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

В результате изучения темы студент

знает

- что такое «аркус» числа;

- определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа;

- основные тождества, следующие из определений аркусов;

- соотношения между одноименными аркусами чисел и ;

- тождества, связывающие арксинус и арккосинус, арктангенс и арккотангенс одного и того же числа;

- как найти синус, косинус, тангенс или котангенс от какого-нибудь аркуса;

- как найти арксинус (арккосинус) от синуса и косинуса, арктангенс (арккотангенс) от тангенса или котангенса;

- как найти значение многочлена от аркусов чисел;

- как выразить один аркус через другой;

- план доказательства тождества, содержащего аркусы;

- способы решения простейших уравнений и неравенств, содержащих аркусы;

- способ решения уравнений и неравенств вида , , , где - элементарная функция, - какой-либо аркус;

- способ решения уравнений и неравенств вида , где и - линейные функции одноименных или разноименных аркусов и одной и той же или разных функций аргумента ;

умеет

- находить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса от какого-либо аркуса;

- находить арксинус (арккосинус) от синуса и косинуса, арктангенс (арккотангенс) от тангенса и котангенса;

- находить значение многочлена от аркусов чисел;

- выражать один аркус через другой;

- доказывать тождества, содержащие аркусы;

- решать простейшие уравнения и неравенства, содержащие аркусы;

- решать уравнения и неравенства типов , , , где - элементарная функция, - какой-либо аркус, , где и - линейные функции одноименных или разноименных аркусов и одной и той же или разных функций аргумента .

Содержание темы

2.1. Определения и свойства

1. Для каждого действительного числа можно найти его синус (см. первую часть), причем известно, что один и тот же синус имеет бесконечное множество чисел. Например, , . Это означает, что действие нахождения числа по его синусу выполняется неоднозначно. Чтобы сделать действие однозначно выполнимым, выбирают промежуток, ближайший к началу отсчета, чтобы на нем синус принимал каждое свое значение и только один раз. Таким промежутком является отрезок . Известно, что синус может принимать значения только из отрезка . Следовательно, если задать число из отрезка , то на отрезке найдется единственное число , синус которого равен . Это число называется арксинусом числа и обозначается .

Определение. Арксинусом числа , принадлежащего отрезку , называется такое число из отрезка , синус которого равен .

Это определение можно сформулировать в геометрической терминологии: Арксинусом числа , принадлежащего отрезку , называется дуга, заключенная в отрезке , синус которой равен .

Термин «арксинус» произошел от слияния двух слов: «arcus», что в переводе с латыни означает «дуга», и «синус».

Символически определение можно записать следующим образом:

;

;



Докажем, например, что .

1) Здесь .

2) .

3)

Все требования определения выполняются. Значит, .

Аналогично можно доказать, что

.

Если в третье условие определения вместо подставить , то получим тождество

,

которое выполняется только для чисел из отрезка .

Если же в равенство вместо подставить из третьего условия, то получим тождество



которое выполняется только для чисел из отрезка .

Геометрическая интерпретация определения, получение по значению и тождества, следующие из определения, показаны в приложении 4.

Пользуясь геометрической интерпретацией, легко установить и еще одно тождество:

.

Его можно доказать и аналитически, что будет сделано позднее.

Нетрудно заметить также, что с возрастанием от до значения возрастают от до .

Рассуждая аналогичным образом, получим определения , тождества, следующие из определений, и тождества, связывающие арккосинусы (арктангенсы, арккотангенсы) противоположных чисел. Все это представлено в соответствующих столбцах приложения 4.

На основе определений заключаем, например, что







В дополнение к приложению 4 отметим, что с возрастанием от до значения убывают от до , с возрастанием от до значения возрастают от до , не достигая их, а значения убывают от до , не принимая этих значений. Это также можно установить с помощью геометрической интерпретации определений.

2. Через можно выразить множество всех чисел, синус которых равен , .

Согласно определению синус есть ордината точки единичной окружности. Если , то на окружности существуют две точки, имеющие ординату . Одна из них расположена в интервале , другая – в интервале (рис. 5). Первая из них соответствует числу , вторая числу . Тогда на множестве интервалов , , все числа, синус которых равен , имеют вид , , а на множестве интервалов , , числа, синус которых равен , имеют вид , .
При числа, синус которых равен , можно записать по любой из полученных формул.

Если множество всех чисел (дуг), синус которых равен , обозначить , то будем иметь:



или



тогда ответ можно записать одной строкой:

, .

Через арккосинус можно записать множество всех чисел, косинус которых равен , .

По определению косинус есть абсцисса точки единичной окружности. Если , то на окружности существуют две точки, имеющие абсциссу . Одна из них расположена в интервале , другая – в интервале (рис. 6). Первая из них соответствует числу , вторая числу . Тогда на множестве интервалов , , все числа, косинус которых равен , имеют вид , , а на множестве интервалов , , они имеют вид , .

При числа ответ можно записать по любой из полученных формул.

Если множество всех чисел (дуг), косинус которых равен , обозначить , то будем иметь:



или одной строкой:

, .

Запишем в общем виде числа, тангенс которых равен . По определению тангенс есть координата точки единичной окружности на оси тангенсов. Координату, равную , имеют две точки окружности. Одна из них расположена в интервале , другая – в интервале (рис. 7). Первая из них соответствует числу (дуге) , вторая числу . Тогда на множестве интервалов , , все числа, тангенс которых равен , имеют вид , , а на множестве интервалов , , числа, имеют вид , .

Если множество всех дуг, тангенс которых равен , обозначить , то получим формулу:



которую можно записать короче:

, .

Рассуждениями, аналогичными проведенным при выводе формул для и , получим формулу множества всех чисел, котангенс которых равен (рис. 8):

, .

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа будем для краткости называть аркусами.

Можно выделить три вида задач, наиболее характерных для темы: задачи на вычисление, на доказательство тождеств, на решение уравнений и неравенств. Рассмотрим каждый из этих видов отдельно.
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Нижегородский...
Целью данного курса является овладение будущими учителями- логопедами знанием базовых понятий и представлений о нарушениях письменной...

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconГоу впо нижегородский государственный педагогический университет
Нижегородский государственный педагогический университет приглашает принять участие в

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное...
Гоу впо «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова» (Алтгту) совместно с ООО «Сибирский тендерный центр»...

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconФедеральное агентство по образованию нижегородский государственный педагогический университет
...

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconПрограмма производственной практики н. Новгород 2010 федеральное...
Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 230200 Информационные системы,...

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Нижегородский...
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделений технолого-экономического факультета нгпу, обучающихся...

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconAntonio Moncada Interpreter and Translator
Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет (федеральное агентство по образованию)

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconСоциально-педагогический потенциал сельской школы: историко-педагогический анализ
Работа выполнена в гоу впо «нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо...
...

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо «Нижегородский государственный педагогический университет» iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию гоу впо...
Активизация инвестиционного процесса является одним из наиболее действенных механизмов социально-экономических преобразований



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
www.lit-yaz.ru
главная страница