Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород




Скачать 127.19 Kb.
НазваниеМетодическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород
Дата публикации23.06.2013
Размер127.19 Kb.
ТипМетодическая разработка
www.lit-yaz.ru > Математика > Методическая разработка
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Волжский государственный инженерно-педагогический университет»
Институт дизайна
Кафедра математики и информатики

^ Решение нелинейного уравнения с одним неизвестным в различных средах программного обеспечения

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801.65 – Прикладная информатика (в менеджменте)

Нижний Новгород

2009

Содержание

Введение 3
^

1.Постановка задачи 4

2.Методы отделения корней 5

2.1.Графический метод 5

2.2Аналитический метод 6

3.Методы уточнения корней 8

3.1.Метод половинного деления 8

^

3.2.Метод последовательных приближений 10

3.3.Метод Ньютона 12

4.Анализ результатов 16


Заключение 17

Варианты заданий 18

Список рекомендуемой литературы 19
Введение

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCad, Mathlab и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные и не вникая в сущность алгоритмов, можно решить значительное число задач. Безусловно, умение пользоваться этими программными продуктами существенно сокращает время и ресурсы по решению ряда важных задач.

Зачастую решение некоторых задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу или являться составной частью более сложных задач. Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. При традиционном подходе к изучению численных методов в основном в математических курсах ориентируются на стандартные ручные расчеты. С развитием материальной и программной базы современных компьютеров при принятии тех или иных решений более реалистичным представляется подход численных расчетов при использовании новейших информационных технологий.

В представленной работе на примере решения нелинейного уравнения с одной неизвестной f(x)=x++-2.5 реализуются 3 технологии:

● алгоритмическая на базе программной среды Pascal;

● с использованием табличного процессора Excel;

● на основе пакета формульных преобразований MathCAD.

Делается сравнительный анализ полученных результатов.


  1. ^ Постановка задачи

Пусть дано уравнение f (x)=0, (1) где функция f (x) непрерывна на некотором множестве X.

Совокупность значений переменной х, при которых уравнение (1) обращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое отдельное значение – корнем уравнения. В зависимости от вида функции f(x) уравнения подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

В первых для получения значения функции по аргументу необходимо выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем (иррациональные функции, где используется операция извлечения корня, также относят к классу алгебраических функций).

Алгебраическое уравнение можно привести к виду:

++…++=0, (2) где числа , i = - коэффициенты уравнения, которые в общем случае являются комплексными.

Таким образом, корни уравнения могут быть как вещественными, так и комплексными. Будем считать числа вещественными.

Функцию называют трансцендентной, если она содержит логарифмические, показательные, тригонометрические и другие функции. И если в записи уравнения (1) содержится трансцендентная функция, то уравнение называют трансцендентным.

Точные аналитические значения корней уравнения (1) можно найти лишь в простейших случаях (ах+в=0; а+вх+с=0; соs(x)=а и т.д.). Кроме того, коэффициенты некоторых уравнений есть приближенные числа, поэтому нельзя говорить о нахождении точных корней.

Будем считать, что уравнение (1) имеет только действительные корни. Тогда нахождение корней с заданной точностью необходимо проводить в два этапа:

  • отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых промежутков, в которых содержится только один корень уравнения;

  • уточнение каждого из отдельных корней, т.е. определение их с заданной точностью.

Рассмотрим технологию выполнения курсовой работы на примере определения корней уравнений на интервале .

  1. ^ Методы отделения (локализации) корней

    1. Графический метод

Он основан на построении графика функции y=f(x). Тогда искомым отрезком [а;в], содержащим корень уравнения (1), будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика с этой осью. Иногда выгоднее представить исходную функцию в виде разности двух более простых функций f(x)=g(x)-g1(x) и строить два графика = g(x) и = g1(x), точка пересечения которых и является корнем уравнения (1), а отрезок на оси абсцисс с корнем внутри и будет являться интервалом изоляции. Этот метод хорошо работает в случае, если исходное уравнение не имеет близких корней и дает тем точнее результат, чем мельче берется сетка по оси ОХ.
Пакет Excel

Первый способ f(x) = x++-2.5

Второй способ g(x) = x+; g1(x) = 2.5 -
Искомый корень уравнения находится на отрезке [0,7;0,8]

Пакет MathCAD



    1. Аналитический метод

Аналитический метод основан на следующем положении: если непрерывная и дифференцируемая на отрезке [a;b] функция f(x) принимает значения разных знаков на его концах (т.е. f(a)∙f(b)<0), то внутри данного отрезка содержится, по крайней мере, один корень уравнения (1), а если к тому же на [a;b] f'(x) сохраняет знак (функция f(x) – монотонная), то этот корень единственный.

Если исходное уравнение имеет близкие корни или функция f(x) сложная, то для выделения отрезков изоляции область изменения аргумента разбивают на отрезки длиной h (шаг) и последовательно проходят их, проверяя значение функции на их концах и выбирая нужные.

Для функции F(x) = x++-2.5 производная имеет вид F'(x)=1+ + Областью допустимых значений аргумента для производной является интервал (0; +∞). При таких значениях аргумента функция F'(x) всегда положительна, следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Начало

Ввод , , h

a:=

b:=a+h

f(a) ∙ f(b)<0

Печать a,b

a:=b

a<=

Печать «конец интервала поиска»

Конец

Да

Нет

Да

Нет

Блок-схема

Pascal


  1. ^ Методы уточнения корней

Методы отделения корней весьма удобны и просты. Однако они дают ответ только на вопрос локализации корня и позволяют найти его грубое приближенное значение. Если же требуется найти более точное значение корня, то используют различные методы уточнения.

    1. ^ Метод половинного деления

Входная информация: отрезок [a;b] с корнем непрерывной функции f(x) внутри и точность определения корня ε.

Исходный отрезок делится пополам точкой = и если f()=0, то x – корень уравнения. Если f()≠0, то из двух получившихся отрезков [a;] и [;b] выбирается тот, на концах которого функция имеет противоположные знаки. (Например, если f(a) ∙ f()<0, то выбирается [a;]; если нет, то [;b]). Продолжаем процедуру деления до тех пор, пока |a-b|< ε. Тогда последнее значение будет искомым корнем с точностью ε. Этот метод всегда сходится к корню, но требуется большое количество приближений n, которое можно определить из соотношения ε ∙ = |b-a| (так при |b-a|=1 и ε=0.001, n=10).
Pascal
Пакет Excel
Пакет MathCAD

    1. Метод последовательных приближений

Исходное уравнение F(x) = x++-2.5 преобразуем к виду x = φ(x). Если на рассматриваемом интервале изоляции корня [0.7; 0,8] |φ’(x)|<1, то расчетная формула примет вид : =φ(), и при этом итерационный процесс приближения к корню будет сходящимся.

В нашем случае непосредственный выбор расчетной формулы вызывает затруднения. Поэтому воспользуемся следующим приемом.

Введем в рассмотрение произвольный параметр λ>0 . Тогда функцию φ(x) можно представить как φ(x) = x - λ∙F(x). Затем, варьируя параметр λ, добиваемся условия сходимости: |φ’(x)|<1 на [a; b]. φ’(x)=1-λ∙F’(x). Для выполнения сходимости λ= на [a; b].

Для рассматриваемого примера:

max|F’(x)| на (a; b) = max| (1 + + )|= 2 (при x=0.7). λ = .

Расчетная формула метода итерации примет вид:

= - ∙(++-2.5) = .

Начало

Ввод ,k k

n:=1





Печать







Печать «корень не найден»

Да

Конец

Да

Нет

Нет

Блок-схема

Pascal
Пакет Excel
Пакет MathCAD



    1. ^ Метод Ньютона

Этот метод можно рассматривать как частный случай метода простой итерации с рекуррентной формулой = – и тем же принципом выбора начального приближения .

Последовательность является сходящейся, ибо (x) = и (x)=0. Что означает, что если выбрано из малой окрестности корня, то (x)≤1. При произвольном итерации будут сходиться, если всюду

|f (x) * | < .

Геометрически метод Ньютона соответствуют последовательному проведению касательных к кривой y = f(x) в точках (; f ()) и выборе в качестве нового приближения точки пересечения их с осью абсцисс.

Для рассматриваемого нами примера (F(x) = x++-2.5) первая производная равна F‘(x)=1+ + , а вторая производная имеет вид

F’’(x) = - - . Итерационная формула примет вид:

=- .

В качестве начального приближения берется тот конец интервала изоляции, на котором функция и ее вторая производная имеют одинаковые знаки. Найдем значения функции на концах отрезка [0,7; 0,8]:

F(0,7)=0.7++-2.5≈ -0,075<0;

F’’(0.7)= - - ≈-0,6282<0.

Таким образом, за начальное приближение примем =0.7.

Процесс итераций идет до тех пор, пока |F(|<ε. В случае неудачного выбора рекуррентной формулы получается расходящийся процесс, и условие сравнения с точностью не достигается. Для исключения подобной ситуации введем счетчик итерации n, увеличивающийся каждый раз на единицу, и поставим искусственное условие продолжения итерации в случае n<=k. В противном случае завершим алгоритм с выводом текстового сообщения о невозможности получения корня за заданное количество k шагов.


Блок-схема
Начало

Ввод , k

n:=1

:= -

|f()|< ε

Печать , n

:=

n:=n+1

n<=k

Печать «корень не найден»

Конец

Да

Да

Нет

Нет

Pascal
Пакет Excel
Пакет MathCAD

  1. ^ Анализ результатов


Как видно из выше представленной таблицы более точные результаты корня x в средах Excel и Pascal, хотя сам процесс уточнения был более прост и быстр в среде MathCAD. В среде MathCAD уже заложены специальные формулы, которые позволяют найти более точное значение уже со второго приближения. В среде Pascal к примеру в методе последовательных приближений потребовалось 10 приближений, а в методе Ньютона число приближений равняется 11. Уточнение корня напрямую зависит от точности его нахождения , чем меньше, тем точнее будет корень.

Заключение

В данной работе рассмотрена только одна из большого количества задач численного решения. Аналогичным образом могут быть решены и другие задачи:

  • погрешность результатов численного решения задач;

  • решение задач линейной алгебры;

  • решение задачи аппроксимации функций;

  • решение задачи численного вычисления определенных интегралов;

  • приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений;

  • решение задач одномерной и многомерной оптимизации и др.


^ Варианты заданий


Задания

Уравнение

1




2




3




4




5




6




7




8




9




10




11




12




13




14




15




16




17




18




19




20






Список рекомендуемой литературы

  1. Бахтиярова Л.Н. Microsoft Office 2007 Часть 1. Учебно-методическое пособие. – Н.Новгород: ВГИПУ.2008. – 133c.

  2. Груздева М.Л., Червова А.А.Экономические и инженерные расчёты в среде MathCad. Учебное пособие. – Н.Новгород: ВГИПУ. – 2007. – 90с.

  3. Ершов В.Н. Численные методы. Учебно-методическое пособие. – Н.Новгород: ВГИПУ. – 2009. – 49с.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconМетодические указания по выполнению контрольно-курсовой работы для...
Цели и задачи выполнения контрольно-курсовой работы

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconМетодические указания по выполнению срс (контрольной работы) по дисциплине «культурология»
...

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconНнгу, обучающихся по направлению подготовки 080800 «Прикладная информатика...
Рекомендовано методической комиссией факультета вычислительной математики и кибернетики для студентов ннгу, обучающихся по направлению...

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconМетодическая разработка по выполнению курсовой работы по дисциплине «Банковское дело»
Для студентов, обучающихся по направлению «Экономика» со специализацией “Финансы и кредит”

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconМетодические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине «Финансы и кредит»
Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconКонтрольные работы по математике для студентов института дизайна Методические рекомендации
Методические рекомендации предназначены, в первую очередь, для студентов Института Дизайна, обучающихся по специальностям 080801....

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconМетодические указания по выполнению контрольно-курсовой работы для...
Цели и задачи выполнения контрольно-курсовой работы

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconМировые информационные ресурсы методические указания по выполнению...
Утверждено на заседании кафедры вычислительной техники и информационных технологий, протокол №5 от 15. 12. 2012 г

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconС. П. Соколова интеллектуальные информационные системы
Методические указания предназначены для студентов специальности 351400 «Прикладная информатика (в экономике)»

Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801. 65 Прикладная информатика (в менеджменте) Нижний Новгород iconМетодические рекомендации по выполнению практических работ Нижний Новгород
Методические рекомендации предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Грузоведение» по специальности 190701. 65 «Организация...



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
www.lit-yaz.ru
главная страница